Ⅳ-1 집합 수능 기출 문제
• 2015년 03월 교육청 두 집합 [eqn: A= LEFT { a+2,~a ^{2} -2 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 2,~6-a RIGHT }]에 대하여 [eqn: A=B]일 때, [eqn: a]의 값은? 01 • 3점 ① [eqn: -2] ② [eqn: -1] ③ [eqn: 0] ④ [eqn: 1] ⑤ [eqn: 2] • 2016년 10월 교육청 두 집합 [eqn: A= LEFT { 1,~2,~4 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 1,~3,~4,~5 RIGHT }]에 대하여 집합 [eqn: B-A]의 모든 원소의 합은? 02 • 2점 ① [eqn: 5] ② [eqn: 6] ③ [eqn: 7] ④ [eqn: 8] ⑤ [eqn: 9] • 2016년 03월 교육청 전체집합 [eqn: U= LEFT { `x` LEFT | `x는`10`이하의`자연수` RIGHT } RIGHT .]의 03 두 부분집합 [eqn: A= LEFT { `x` LEFT | `x는`6의`약수` RIGHT } RIGHT .], [eqn: LEFT . B= LEFT { 2,~3,~5,~7 RIGHT }] 에 대하여 |보기|에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? • 3점 |보기| ㄱ. [eqn: 5` NOTIN `A SMALLINTER B``] ㄴ. [eqn: n` LEFT ( `B-A` RIGHT ) =2`] ㄷ. [eqn: U`]의 부분집합 중 집합 [eqn: A CUP B``]와 서로소인 집합의 개수는 [eqn: 16`]이다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ	• 2015년 03월 교육청 그림은 전체집합 [eqn: U]의 서로 다른 두 부분집합 [eqn: A], [eqn: B] 사이의 관계를 벤 다이어그램으로 나타낸 것이다. 04 다음 중 어두운 부분을 나타낸 집합과 같은 것은? • 3점 ① [eqn: A SMALLINTERB^C] ② [eqn: (A SMALLINTERB) SMALLUNIONB^C] ③ [eqn: (A SMALLINTER B ^{C} `) CUP A ^{C}] ④ [eqn: (A CUP B) SMALLINTER (A SMALLINTER B) ^{C}] ⑤ [eqn: (A-B) CUP (A ^{C} SMALLINTER B ^{C} `)] • 2017년 06월 평가원 전체집합 [eqn: U= LEFT { `x`□`x는`10`이하의`자연수 RIGHT }]의 두 부분집합 [eqn: A= LEFT { 1,~2,~3,~6 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 1,~3,~5,~7,~9 RIGHT }]에 대하여 집합 [eqn: B ^{C} -A ^{C}]의 모든 원소의 합은? 05 • 3점 ① [eqn: 8] ② [eqn: 9] ③ [eqn: 10] ④ [eqn: 11] ⑤ [eqn: 12]

수능 기출 문제
• 2016년 03월 교육청 실수 전체의 집합 [eqn: R`]의 두 부분집합 [eqn: A= LEFT { `x`|`x ^{2} -x-12 LEQ 0 RIGHT }], 06 [eqn: B= LEFT { `x`|`x<a`또는`x>b RIGHT }] 가 다음 조건을 만족시킨다. ㈎ [eqn: A CUP B`=R] ㈏ [eqn: A-B= LEFT { `x`|`-3 LEQ x LEQ 1 RIGHT }] 두 상수 [eqn: a], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: b-a`]의 값을 구하시오. • 3점 • 2017년 09월 평가원 전체집합 [eqn: U= LEFT { 1,~2,~3,~4,~5,~6,~7,~8 RIGHT }]의 두 부분집합 [eqn: A= LEFT { 1,~2 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 3,~4,~5 RIGHT }]에 대하여 07 [eqn: X CUP A=X], [eqn: X SMALLINTER B ^{C} =X] 를 만족시키는 [eqn: U]의 모든 부분집합 [eqn: X]의 개수를 구하시오. • 4점 • 2016년 03월 교육청 전체집합 [eqn: U= LEFT { 1,~2,~3,~4,~5,~6,~7 RIGHT } `]의 두 부분집합 08 [eqn: A= LEFT { 1,~2,~3 RIGHT } `], [eqn: B= LEFT { 2,~3,~4,~5 RIGHT } `] 에 대하여 집합 [eqn: P`]를 [eqn: P= LEFT ( A CUP B` RIGHT ) ` SMALLINTER ` LEFT ( A SMALLINTER B` RIGHT ) ^{C} `] 이라 하자. [eqn: P SUBSET X SUBSET U`]를 만족시키는 집합 [eqn: X`]의 개수를 구하시오. • 4점	• 2016년 03월 교육청 두 집합 [eqn: A= LEFT { 1,~2,~3,~4 RIGHT }], 09 [eqn: B= LEFT { 1,~2,~3,~4,~5,~6,~7,~8 RIGHT }] 에 대하여 집합 [eqn: P`]가 다음 조건을 만족시킨다. ㈎ [eqn: n LEFT ( P SMALLINTER A RIGHT ) =2`] ㈏ [eqn: P-B= EMPTYSET `] ㈐ 집합 [eqn: P`]의 모든 원소의 합은 [eqn: 28`]이다. 집합 [eqn: P`-A`]의 모든 원소의 곱을 구하시오. • 4점 • 2015년 03월 교육청 두 집합 10 [eqn: A= LEFT { `x`□`x는`100`이하의`자연수 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { `x`□`x는`50과`서로소인`자연수 RIGHT }]□ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 집합 [eqn: X]의 개수를 구하시오. • 4점 ㈎ [eqn: X SUBSET A], [eqn: X != EMPTYSET] ㈏ [eqn: X SMALLINTER B= EMPTYSET] ㈐ 집합 [eqn: X]의 모든 원소는 [eqn: 12]와 서로소이다.

수능 기출 문제
• 2016년 03월 교육청 전체집합 [eqn: U`= LEFT { `x`|`x는`10`이하의`자연수 RIGHT } `]의 11 두 부분집합 [eqn: A= LEFT { 1,~2,~3,~4,~5,~6,~7 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 1,~3,~5,~7,~9 RIGHT }]에 대하여 집합 [eqn: A^{C} capB^{C}]의 원소의 개수는? • 3점 ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5] • 2016년 03월 교육청 어느 고등학교 [eqn: 3`]학년 [eqn: 1`]반 학생 [eqn: 33`]명을 대상으로 책 [eqn: rm A], 책 [eqn: rm B`]를 읽었는지 조사하였다. 책 [eqn: rm A`]를 읽지 않고 책 [eqn: rm B`]만 읽은 학생이 [eqn: 15`]명일 때, 책 [eqn: rm A]와 책 [eqn: rm B`]를 모두 읽은 학생 수의 최댓값은? 12 • 3점 ① [eqn: 15] ② [eqn: 16] ③ [eqn: 17] ④ [eqn: 18] ⑤ [eqn: 19]	• 2015년 03월 교육청 어느 고등학교의 [eqn: 2]학년 학생 [eqn: 212]명을 대상으로 문학 체험, 역사 체험, 과학 체험의 신청자 수를 조사한 결과 다음과 같은 사실을 알게 되었다. 13 ㈎ 문학 체험을 신청한 학생은 [eqn: 80]명, 역사 체험을 신청한 학생은 [eqn: 90]명이다. ㈏ 문학 체험과 역사 체험을 모두 신청한 학생은 [eqn: 45]명이다. ㈐ 세 가지 체험 중 어느 것도 신청하지 않은 학생은 [eqn: 12]명이다. 과학 체험만 신청한 학생의 수를 구하시오. • 4점 • 2016년 03월 교육청 어느 학교 학생 [eqn: 200]명을 대상으로 두 체험 활동 [eqn: rmA], [eqn: rmB]를 신청한 학생 수를 조사하였더니 체험 활동 [eqn: rm A`]를 신청한 학생은 체험 활동 [eqn: rm B`]를 신청한 학생보다 [eqn: 20]명이 많았고, 어느 체험 활동도 신청하지 않은 학생은 하나 이상의 체험 활동을 신청한 학생보다 [eqn: 100]명이 적었다. 체험 활동 [eqn: rmA`]만 신청한 학생 수의 최댓값을 구하시오. 14 • 4점

집합

정답 및 풀이

Ⅳ-1

1. ⑤	2. ④	3. ⑤	4. ②	5. ①

6. [eqn: 4]	7. [eqn: 8]	8. [eqn: 16]	9. [eqn: 336]	10. [eqn: 127]

11. ②	12. ④	13. [eqn: 75]	14. [eqn: 85]

ㄷ. [eqn: A CUP B=LEFT{1,~2,~3,~5,~6,~7RIGHT }]이므로 [eqn: U]의 부분집

3

합 중에서 집합 [eqn: A SMALLUNIONB]와 서로소인 집합은 집합

[eqn: LEFT ( A CUP B RIGHT ) ^{C} = LEFT { 4,~8,~9,~10 RIGHT }]의 부분집합이므로 그      개수는    [eqn: 2 ^{4} =16]

[eqn: x ^{2} -x-12 LEQ 0]에서    [eqn: (x+3)(x-4) LEQ 0]

6

[eqn: THEREFORE -3 LEQ x LEQ 4]

[eqn: THEREFORE A= LEFT { x`□`-3 LEQ x LEQ 4 RIGHT }]

이때 조건 ㈎, ㈏에서 [eqn: A CUP B=R], [eqn: A-B= LEFT { x`□`-3 LEQ x LEQ 1 RIGHT }]이므로 오른쪽 그림에서

[eqn: B= LEFT { x`□`x< -3`또는`x>1 RIGHT }]

따라서 [eqn: a=-3], [eqn: b=1]이므로

[eqn: b-a=4]

[eqn: X` CUP A=X]이므로    [eqn: A SUBSET X]

7

[eqn: X` SMALLINTER B ^{C} =X]이므로    [eqn: X SUBSET B ^{C}]

즉 [eqn: A SUBSET X SUBSET B ^{C}]이고 [eqn: A= LEFT { 1,~2 RIGHT }],

[eqn: B ^{C} = LEFT { 1,~2,~6,~7,~8 RIGHT }]이므로 집합 [eqn: X]는 집합

[eqn: LEFT { 1,~2,~6,~7,~8 RIGHT }]의 부분집합 중 원소 [eqn: 1], [eqn: 2]를 포함하는 집합이다.

따라서 구하는 집합 [eqn: X]의 개수는    [eqn: 2 ^{5-2} =8]

[eqn: A CUP B= LEFT { 1,~2,~3,~4,~5 RIGHT }], [eqn: A SMALLINTER B= LEFT { 2,~3 RIGHT }]이므로

8

[eqn: P= LEFT ( A CUP B` RIGHT ) ` SMALLINTER ` LEFT ( A SMALLINTER B` RIGHT ) ^{C} `]

[eqn: =(A CUP B)-(A SMALLINTER B)]

[eqn: = LEFT { 1,~4,~5 RIGHT }]

따라서 집합 [eqn: X]는 집합 [eqn: LEFT { 1,~2,~3,~4,~5,~6,~7 RIGHT }]의 부분집합 중 원소 [eqn: 1], [eqn: 4], [eqn: 5]를 포함하는 집합이므로 구하는 집합 [eqn: X]의 개수는

[eqn: 2 ^{7-3} =2 ^{4} =16]

조건 ㈎에서 [eqn: n(P SMALLINTER A)=2]이므로 집합 [eqn: A]에 속한 [eqn: 4]개의 원소 중 오직 [eqn: 2]개만 집합 [eqn: P]에 속한다. 즉 집합 [eqn: A]의 원소 중 집합 [eqn: P]에 속하는 원소들의 합의 최댓값은 [eqn: 3+4=7], 최솟값은 [eqn: 1+2=3]이다.

9

조건 ㈐에서 집합 [eqn: P]의 모든 원소의 합은 [eqn: 28]이므로 집합 [eqn: P]의 원소 중 집합 [eqn: A]에 속하지 않는 원소들의 합은 [eqn: 21] 이상 [eqn: 25] 이하이다.	…… ㉠

한편 조건 ㈏에서 [eqn: P-B= EMPTYSET]이므로 [eqn: P SUBSET B]이고, 집합 [eqn: B]의 원소 중 집합 [eqn: A]에 속하는 원소를 제외한 나머지 원소들의 집합은 [eqn: LEFT { 5,~6,~7,~8 RIGHT }]이다.

(ⅰ) [eqn: LEFT { 5,~6,~7,~8 RIGHT }]이 집합 [eqn: P]에 포함되는 경우

집합 [eqn: P]의 원소 중 집합 [eqn: A]에 속하지 않는 원소들의 합이 [eqn: 5+6+7+8=26]이므로 ㉠을 만족시키지 않는다.

(ⅱ) [eqn: LEFT { 5,~6,~7,~8 RIGHT }]의 부분집합 중 세 원소로 이루어진 집합이 집합 [eqn: P]에 포함되는 경우

집합 [eqn: P]의 원소 중 집합 [eqn: A]에 속하지 않는 원소들의 합의 최솟값은 [eqn: 5+6+7=18], 최댓값은 [eqn: 6+7+8=21]이므로 조건 ㈐에 의하여

[eqn: LEFT { 3,~4,~6,~7,~8 RIGHT }]은 집합 [eqn: P]가 될 수 있다.

(ⅲ) [eqn: LEFT { 5,~6,~7,~8 RIGHT }]의 부분집합 중 두 원소로 이루어진 집합이 집합 [eqn: P]에 포함되는 경우

집합 [eqn: P]의 원소 중 집합 [eqn: A]에 속하지 않는 원소들의 합의 최댓값은 [eqn: 7+8=15]이므로 ㉠을 만족시키지 않는다.

이상에서 [eqn: P= LEFT { 3,~4,~6,~7,~8 RIGHT }]이다.

따라서 집합 [eqn: P-A= LEFT { 6,~7,~8 RIGHT }]의 모든 원소의 곱은

[eqn: 6cdot7cdot8=336]

[eqn: B= LEFT { x`□`x는`50과`서로소인`자연수 RIGHT }]이고

10

[eqn: 50=2 TIMES 5 ^{2}]이므로 집합 [eqn: B]의 모든 원소는 [eqn: 2]의 배수도 아니고 [eqn: 5]의 배수도 아니다.

조건 ㈏에서 [eqn: X SMALLINTER B= EMPTYSET]이므로 집합 [eqn: X]의 모든 원소는 [eqn: 2]의 배수이거나 [eqn: 5]의 배수이어야 한다.

조건 ㈐에서 [eqn: 12=2 ^{2} TIMES 3]이므로 집합 [eqn: X]의 모든 원소는 [eqn: 2]의 배수도 아니고 [eqn: 3]의 배수도 아니다.

따라서 집합 [eqn: X]의 모든 원소는 [eqn: 100] 이하의 [eqn: 5]의 배수 중에서 [eqn: 2]의 배수도 아니고 [eqn: 3]의 배수도 아닌 수이므로

집합 [eqn: X]의 원소가 될 수 있는 수는

[eqn: 5], [eqn: 25], [eqn: 35], [eqn: 55], [eqn: 65], [eqn: 85], [eqn: 95]

조건 ㈎에서 집합 [eqn: X]는 집합

[eqn: LEFT { 5,~25,~35,~55,~65,~85,~95 RIGHT }]의 공집합이 아닌 부분집합이어야 하므로 집합 [eqn: X]의 개수는

[eqn: 2 ^{7} -1=127]

[eqn: 3]학년 [eqn: 1]반 전체 학생의 집합을 [eqn: U], 책 [eqn: rmA]를 읽은 학생의 집합을 [eqn: A], 책 [eqn: rmB]를 읽은 학생의 집합을 [eqn: B]라 하면

12

[eqn: n(U)=33], [eqn: n(A^C SMALLINTERB)=15]

두 집합 [eqn: A^C SMALLINTERB]와 [eqn: (A ^{C} SMALLINTER B) ^{C} =A CUPB ^{C}]은 서로소이고 [eqn: U=(A ^{C} SMALLINTER B) CUP (A CUP B^{C}`)]이므로

[eqn: n(U)=n(A ^{C} SMALLINTER B)+n(A CUP B ^{C} `)]

[eqn: 33=15+n(A CUP B ^{C} `)]

[eqn: THEREFORE n(A CUP B ^{C} `)=18]

이때 [eqn: (A SMALLINTER B) SUBSET (A CUP B ^{C} `)]이므로

[eqn: n(A SMALLINTER B) LEQ n(A CUP B ^{C} `)]

따라서 [eqn: n(A SMALLINTER B)]의 최댓값은 [eqn: 18]이다.

[eqn: 2]학년 전체 학생의 집합을 [eqn: U], 문학 체험을 신청한 학생의 집합을 [eqn: A], 역사 체험을 신청한 학생의 집합을 [eqn: B], 과학 체험을 신청한 학생의 집합을 [eqn: C`]라 하면 조건 ㈎, ㈏에서

13

[eqn: n(U)=212], [eqn: n(A)=80], [eqn: n(B)=90],

[eqn: n(A SMALLINTER B)=45]

[eqn: THEREFORE n(A CUP B)=n(A)+n(B)-n(A SMALLINTER B)]

[eqn: =80+90-45=125]

조건 ㈐에서 [eqn: n(A ^{C} SMALLINTER B ^{C} SMALLINTER C ^{C} `)=12]이므로

[eqn: n(A CUP B CUP C`)=n(U`)-n((A CUP B CUP C) ^{C} `)]

[eqn: =n(U)-n(A ^{C} SMALLINTER B ^{C} SMALLINTER C ^{C} `)]

[eqn: =212-12=200]

따라서 과학 체험만 신청한 학생의 수는

[eqn: n(C-(A CUP B))=n(A CUP B CUP C)-n(A CUP B)]

[eqn: =200-125=75]

학교 학생 전체의 집합을 [eqn: U], 체험 활동 [eqn: rmA]를 신청한 학생의 집합을 [eqn: A], 체험 활동 [eqn: rmB]를 신청한 학생의 집합

14

을 [eqn: B]라 하면

[eqn: n(U)=200], [eqn: n(A)=n(B)+20],

[eqn: n(A ^{C} SMALLINTER B ^{C} `)=n(A CUPB)-100]

[eqn: A ^{C} SMALLINTER B ^{C} =(A CUPB) ^{C}]이므로

[eqn: n(A ^{C} SMALLINTER B ^{C} `)=n(U)-n(A CUP B)]

[eqn: n(A CUPB)-100=n(U)-n(A CUPB)]

[eqn: n(A CUP B)= {1} over {2} LEFT { n(U)+100RIGHT }]

[eqn: THEREFORE n(A CUP B)=150]

또한 [eqn: n(A SMALLUNIONB)=n(A)+n(B)-n(A SMALLINTERB)]이므로

[eqn: LEFT . 150=n(A)+ LEFT { n(A)-20 RIGHT } -n(A SMALLINTER B) RIGHT .]

[eqn: THEREFORE n(A)= {1} over {2} LEFT { n(A SMALLINTER B)+170 RIGHT }]

이때 [eqn: n(A-B)=n(A)-n(A SMALLINTER B)]에서

[eqn: n(A-B)= {1} over {2} LEFT { n(A SMALLINTER B)+170 RIGHT } -n(A SMALLINTER B)]

[eqn: =85- {1} over {2} n(A SMALLINTER B)]

이고 [eqn: (A SMALLINTER B) SUBSET B]에서 [eqn: 0 LEQ n(A SMALLINTER B) LEQ n(B)]이므로

[eqn: n(A-B) LEQ 85- {1} over {2} CDOT 0=85]

따라서 체험 [eqn: rmA]만 신청한 학생 수의 최댓값은 [eqn: 85]이다.